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Banach and Frechet spaces of functions (2008)(en)(7s) by Garrett P.

By Garrett P.

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Nach dem Höhensatz (EUKLID) ist das Quadrat seiner Höhe gleich dem Produkt ab aus den Hypothenusenabschnitten a, b. Diese Höhe ist aber sicher nicht größer als der Radius a+b 2 . 3 √ 1 n a 1 a 2 . . an ≤ n n ai . i=1 Ungleichungen mit einer Variablen Bei Ungleichungen oder Ungleichungssystemen, in denen Variablen vorkommen, besteht das Ziel in der Bestimmung von Variablenmengen, deren Elemente die Ungleichungen erfüllen. Zur Bestimmung der Lösungsmengen werden die in den Ungleichungen vorkommenden Variablen durch äquivalente Umformungen isoliert.

Genauer: Wir wollen L = {x ∈ R | |2x + 5| ≤ 25x − 3} identifizieren. Wir erkennen mit x = − 52 den kritischen Punkt und unterscheiden die Fälle x < − 25 und x ≥ − 52 . 6 Ungleichungen und Beträge Fall I, x < − 25 . h. |2x + 5| ≤ 25x − 3 ⇐⇒ −(2x + 5) ≤ 25x − 3 ⇐⇒ −2 ≤ 27x ⇐⇒ x ≥ − 2 , 27 2 , ∞[. Damit erhalten wir mit also x ∈ L = [− 27 5 2 LI = L ∩ Lcand =] − ∞, − [∩[− , ∞[= ∅ 2 27 2 die Lösungsmenge des Falles I. Von den Kandidaten x ≥ − 27 gehört also keiner zu L. Fall II, x ≥ − 25 . Wir suchen Lösungen der Ungleichung aus Lcand = [− 25 , ∞[.

Pn (x) beschreibt bei gegebenen ai eine Abbildung p : C → C ; x → pn (x) . Die Zahlen a0 , a1 , . . , an nennt man die Koeffizienten von pn (x). n heißt der Grad des Polynoms pn (x) und wird mit deg(pn ) bezeichnet. Für an = 0 ist deg (pn ) = n . Die Bezeichnung ”deg” leitet sich von ”degree” aus dem Englischen ab. Ein Polynom vom Grade 0 ist eine (von Null verschiedene) Konstante a0 . Die Menge der Polynome über C bezeichnen wir mit C(x). Polynome bezeichnet man auch als ganze rationale Funktionen.

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